2024-04-21

2004京大数学（後期）

数A 整数順列・組み合わせ

本題の前に

筆者が高校生の時、以下の事実にはまっていた時期がありました。（どんな時期だよ）

$a,~b~が整数であるとき,\quad a \leq b \iff a < b+1$

これを用いれば、次のような問題で場合分けをせずに解答することができます。（〇と｜による解法もありますが）

問題

次の条件を満たす、1から9までの整数の組 $~(a,~b,~c,~d)~$ は何通りあるか。

$a \leq b\leq c \leq d$

解答

$a,~b,~c,~d~$ は1から9までの整数なので、

$\begin{aligned} &1 \leq a \leq b\leq c \leq d \leq 9 \\ \therefore \quad & 1 \leq a < b+1 < c+2 < d+3 \leq 12 \\ \end{aligned}$

したがって、 $~(a,~b+1,~c+2,~d+3)~$ の組について考えればよく、その総数は12個から異なる4つを選ぶ組み合わせの総数に等しいので、

${}_{12} \mathrm{C}_4 =495 ~(通り)$

って感じです。それでは本題に行きましょう。

2004京大数学（後期）

$n~$ を自然数とする。次の3つの不等式 $~(1),~(2),~(3)~$ をすべて満たす自然数の組 $~a,~b,~c,~d~$ はいくつあるか。 $~n~$ を用いて表せ。

$\begin{aligned} (1)~ &1 \leq a < d \leq n \\ (2)~ &a \leq b < d \\ (3)~ &a < c \leq d \end{aligned}$

解答

この問題でも惜しみなく $~a \leq b \iff a \lt b+1~$ を使っていきます。

$(1)~$ について、

$\begin{aligned} &1 \leq a < d \leq n \\ \therefore \quad & 2 \leq a+1 < d+1 \leq n+1~\cdots① \\ \end{aligned}$

$(2)~$ について、

$\begin{aligned} &a \leq b < d\\ \therefore \quad & a+1 \leq b+1 < d+1~\cdots② \\ \end{aligned}$

$(3)~$ について、

$\begin{aligned} &a < c \leq d \\ \therefore \quad & a+1 \leq c < d+1~\cdots③ \\ \end{aligned}$

①と②、①と③より

$\begin{aligned} &\left\{ \begin{array}{l} 2 \leq a+1 \leq b+1 < d+1 \leq n+1 \\ 2 \leq a+1 \leq c < d+1 \leq n+1 \end{array} \right. \\ \therefore \quad &\left\{ \begin{array}{l} 2 \leq a+1 < b+2 < d+2 \leq n+2 \\ 2 \leq a+1 < c+1 < d+2 \leq n+2 \end{array} \right. \cdots④\\ \end{aligned}$

以上より、④を満たす自然数の組 $~(a+1,~b+2,~c+1,~d+2)~$ を考えればよい。

(i) $~b+2 \lt c+1~$ のとき

$2 \leq a+1 < b+2 < c+1 < d+2 \leq n+2$

これを満たす自然数の組 $~(a+1,~b+2,~c+1,~d+2)~$ は $~{}_{n+1} \mathrm{C}_ 4~$ 通り。

(ii) $~b+2 = c+1~$ のとき

$2 \leq a+1 < b+2 = c+1 < d+2 \leq n+2$

これを満たす自然数の組 $~(a+1,~b+2,~c+1,~d+2)~$ は $~{}_{n+1} \mathrm{C}_ 3~$ 通り。

(iii) $~b+2 > c+1~$ のとき

$2 \leq a+1 < c+1 < b+2 < d+2 \leq n+2$

これを満たす自然数の組 $~(a+1,~b+2,~c+1,~d+2)~$ は $~{}_{n+1} \mathrm{C}_ 4~$ 通り。

以上(i)、(ii)、(iii)より、求める自然数の組の総数は

$\begin{aligned} &{}_{n+1} \mathrm{C}_4 + {}_{n+1} \mathrm{C}_3 + {}_{n+1} \mathrm{C}_4 \\ =& 2 \cdot \dfrac{1}{~24~}(n+1)n(n-1)(n-2) + \dfrac{~1~}{6}(n+1)n(n-1) \\ =& \dfrac{1}{~12~}(n+1)n(n-1)(n-2+2) \\ =& \dfrac{1}{~12~}n^ 2 (n+1)(n-1)~\cdots(答) \end{aligned}$

世の中にはこれよりもずっと機械的で楽な解法が多く存在するので、そちらを参考にしていただけたらと思います。
私の場合、「整数」「不等式」「組み合わせ」のキーワードが揃うとこの解法で解きたくなってしまうんですよね。

2024-04-21

解と係数の関係と因数分解

出典がどこか覚えていませんが、因数分解の面白い問題です。

問題

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc~$ を因数分解せよ。

解答

3次方程式 $~x^ 3-\alpha x^ 2+\beta x -\gamma=0~$ の解を $~x=a,~b,~c~$ とすると

$(x-a)(x-b)(x-c)=x^ 3-\alpha x^ 2+\beta x -\gamma~\cdots①$

解と係数の関係より

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha &=a+b+c \\ \beta &= ab+bc+ca \\ \gamma &= abc \end{array} \right.$

$①~$ に $~x=\alpha~$ を代入すると

$\begin{aligned} (\alpha-a)(\alpha-b)(\alpha-c) &=\alpha^ 3-\alpha^ 3+\beta \alpha -\gamma \\ (\alpha-a)(\alpha-b)(\alpha-c)+\gamma &=\alpha \beta \\ (b+c)(a+c)(a+b)+abc &=(a+b+c)(ab+bc+ca) \\ (a+b)(b+c)(c+a)+abc &=(a+b+c)(ab+bc+ca) ~\cdots(答)\\ \end{aligned}$

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式の解と係数の関係なんてすっかり忘れていたので、ここで確認しておきます。
3次方程式 $~ax^ 3+bx^ 2+cx+d=0~$ の解を $~x=\alpha,~\beta,~\gamma~$ とおくと

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha +\beta+\gamma &=-\dfrac{~b~}{a} \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha &= \dfrac{~c~}{a} \\ \alpha\beta\gamma &= -\dfrac{~d~}{a} \end{array} \right.$

導出は簡単で、因数定理により $~ax^ 3+bx^ 2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)~$ と因数分解してから両辺で係数比較すれば上の式が導かれます。

2024-04-19

はじめまして

ようこそ「数弱大学生の自習室」へ！

このブログでは、筆者が数学の勉強をしていて面白いと思った問題や話題について発信していきます。

はじめまして

まずは自己紹介からしましょう。

私はどこにでもいるような平凡な大学2年生(2024年現在)です笑。出身は福島。好きな食べ物はハンバーガーです。(自己紹介ってこんなんでいいんでしたっけ？)

実はブログを書くのは初めてで、まだ右も左もわかっていない状態なんです。なので、とりあえずまずは自己紹介をしてみました、、、。